تبلیغات
آموزش ریاضیات دبیرستان - نگاهی به مسائل ماکزیمم و مینیمم در ریاضیات
 
درباره وبلاگ


اینجانب تقی خواجه دبیر ریاضی شهرستان مینودشت فارغ التحصیل از دانشگاه تربیت معلم تهران(خوارزمی فعلی) دارای دوازده سال سابقه تدریس ریاضی امیدوارم بتوانم نقش کوچکی در جهت گسترش آموزش ریاضی برای دانش آموزان عزیز این مرز و بوم داشته باشم.

مدیر وبلاگ : تقی خواجه
نویسندگان
نظرسنجی
دوست دارید چه مطالبی در وبلاگ قرار داده شود؟








آمار وبلاگ
  • کل بازدید :
  • بازدید امروز :
  • بازدید دیروز :
  • بازدید این ماه :
  • بازدید ماه قبل :
  • تعداد نویسندگان :
  • تعداد کل پست ها :
  • آخرین بازدید :
  • آخرین بروز رسانی :
آموزش ریاضیات دبیرستان
ریاضیات برای همه
صفحه نخست             تماس با مدیر           پست الکترونیک               RSS                  ATOM
در صفحه 5 کتاب ریاضیات1 سال اول دبیرستان (تمرین در کلاس) مساله بسیار جالبی آمده است که صورت و حل آن را در زیر برای شما عزیزان می آورم . از آنجا که تعمیم این مساله در سال های بالاتر (حسابان سوم ریاضی وحساب دیفرانسیل و انتگرال) نیز آمده است نظر بنده را جلب کرد که بحثی پیرامون آن داشته باشم .امیدوارم موجبات رضایت شما کاربران عزیز و همه علاقه مندان به ریاضی را فراهم نماید.

مساله: تمام مستطیل هایی را رسم کنید که محیط آن ها برابر 20 بوده و طول و عرض آن ها عدد طبیعی باشد.

حل:                          
                                                              

همانطور که در بالا می بینید ابتدا فرمول محیط مستطیل را برای این مساله نوشته و برابر 20 قرار دادیم و از آنجا مجموع طول و عرض مستطیل را بدست آوردیم ، اعداد طبیعی که می توانند به عنوان طول و عرض مستطیل قرار بگیرند را در پرانتز های بالا نوشته ایم . در کتاب درسی از ما خواسته شده است که مساحت این مستطیل ها را بدست آوریم و ببینیم که کدام مستطیل بیشترین مساحت را دارد.با محاسبه مساحت ها مشاهده می شود مستطیلی بیشترین مساحت را دارد که طول و عرض ان با هم برابر باشند یعنی مستطیل به مربع تبدیل شود. نتیجه این تمرین را می توان به صورت زیر بیان کرد.
از بین مستطیل هایی که محیط آن ها مقدار ثابتی است مستطیلی بیشترین مساحت را دارد که طول و عرض آن با هم برابر باشند.

هدف از آوردن این مساله در سال اول تمرین بیشتر با اعداد طبیعی و تعمیق مفهوم شمارش (اندازه گیری به کمک اعداد طبیعی) بوده است امّا تعمیم این مساله نیز جالب است و جزء مسائل کاربردی ریاضیات محسوب می شود که در ادامه به آن می پردازیم:

تعمیم مساله فوق را ذیلا بیان نموده و به شرح و تفصیل آن می پردازیم .منظور از تعمیم این است که در سال اول دبیرستان ابعاد مستطیل ها را اعداد طبیعی در نظر گرفته ایم امّا اکنون می خواهیم ابعاد مستطیل را اعداد حقیقی مثبت در نظر بگیریم . اگر ابعاد مستطیل ها عدد طبیعی باشند رسم تمام مستطیل ها میسّر می باشد ولی اگر ابعاد مستطیل ها را اعداد حقیقی مثبت در نظر بگیریم رسم تمام مستطیل ها به راحتی ممکن نیست ،امّا شما دوستان همراه نگران نباشید انیمیشنی برای شما آماده کرده ام که امیدوارم درک عمیق تری از این مساله در شما دانش آموزان عزیز ایجاد کند. توجه شما را به این نکته جلب کنم که در این انیمیشن به خاطر بزرگ نشدن ابعاد تصویر ، مستطیل هایی نمایش داده می شوند که محیط آن ها برابر 10 می باشد.





تعمیم مساله:از بین مستطیل هایی که محیط آن ها مقدار ثابتی می باشد کدام مستطیل بیشترین مساحت را دارد؟

حل:

                          






بیشترین مقدار تابع ، بازای   بدست می آید که با جایگذاری مقدار بدست آمده برای در رابطه   برای مقدار   حاصل می شود و نتیجه اینکه از بین مستطیل های با محیط ثابت ، مستطیلی بیشترین مساحت را دارد که طول و عرض آن با هم برابر باشند .

در روابط بالا محیط ،   تابع مساحت و یک عدد حقیقی مثبت می باشد.

در انیمیشن ارائه شده بیشترین مساحت مستطیل ها بازای بدست می آید که می توانید روی شکل ببینید.







روش دیگر حل این مساله به کمک مفهوم مشتق می باشد که کاربران عزیز می توانند روش را پیگیری نمایند.

بقیه بحث را در ادامه مطلب ببینید...

ناتانائیل! ای کاش عظمت در نگاه تو باشد نه در آنچه که می بینی ...

(آندره ژید مائده های زمینی)


بیان صورت دیگری از مساله قبل و حل آن به کمک نامساوی ها:

مساله: اگر مجموع دو عدد مثبت مقدار ثابتی باشد ، حاصلضرب آن ها وقتی ماکزیمم است که دو عدد با هم مساوی باشند.

حل: برای دو عدد مثبت و فرض می کنیم ( ، مقداری است ثابت).بنابر نامساوی
(نامساوی واسطه حسابی و هندسی)  می توان نوشت:
                                                                                

ماکزیمم مقدار برابر   است که بازای   بدست می آید.

نتیجه: اگر دو عدد مثبت حاصلضرب ثابتی داشته باشند ، مجموع آن ها وقتی مینیمم می شود که دو عدد با هم مساوی باشند.

حل: برای دو عدد مثبت و فرض می کنیم ( ، مقداری است ثابت).بنابر نامساوی
(نامساوی واسطه حسابی و هندسی) داریم:




حداقل مقدار برابر است با   و وقتی بدست می آید که باشد.

تعمیم مساله بالا: اگر مجموع عدد مثبت مقدار ثابتی باشد حاصلضرب آن ها وقتی ماکزیمم است که آن اعداد با هم برابر باشند.


تعمیم نتیجه بالا: اگر عدد مثبت حاصلضرب ثابتی داشته باشند مجموع آن ها وقتی مینیمم می شود که آن اعداد با هم برابر باشند.

مثال: اگر اعداد مثبت باشند و برای متغیر های داشته باشیم   ماکزیمم را بدست آورید.


حل: قرار می دهیم در نتیجه داریم و وقتی ماکزیمم می شود که داشته باشیم از طرفی   و حداکثر مقدار حداکثر مقدار  را نیز به ما می دهد.



و حداکثر مقدار برابر است با    .


مثال : از بین مثلث های با محیط ثابت ، مثلث متساوی الاضلاع بیشترین مساحت را دارد.
فرض کنیم   مثلث های با محیط ثابت باشند . را نصف محیط در نظر می گیریم پس می توان نوشت:  . اگر مساحت مثلث را با نمایش دهیم با استفاده از دستور هرون مساحت مثلث عبارت است از:



چون محیط ثابت است( ) ابتدا سعی می کنیم ماکزیمم عبارت

  را بیابیم .برای این منظور از نامساوی میانگین حسابی و هندسی بازای استفاده می کنیم یعنی :     و تساوی وقتی برقرار است که
  .

فرض کنیم   در نتیجه بنابراین :

 

و تساوی زمانی برقرار است که   و این به این معنی است که باید داشته باشیم: .


 


و تساوی وقتی برقرار است که مثلث متساوی الاضلاع و با محیط   باشد.







نوع مطلب : حساب دیفرانسیل و انتگرال، حسابان، ریاضیات۱، 
برچسب ها : ماکزیمم و مینیمم در ریاضیات، مسائل ماکزیمم و مینیمم، کاربرد ماکزیمم و مینیمم، تعمیم یک مساله از ماکزیمم و مینیمم، انیمیشن ماکزیمم و مینیمم، مستطیل با بیشترین مساحت، مستطیل های با محیط ثابت،
لینک های مرتبط :


شنبه 25 شهریور 1396 10:12 ب.ظ
Excellent web site. A lot of useful info here. I am sending it to a few buddies
ans additionally sharing in delicious. And naturally, thank you
for your sweat!
یکشنبه 12 شهریور 1396 05:55 ق.ظ
Hiya! I know this is kinda off topic however , I'd figured I'd ask.
Would you be interested in exchanging links or maybe guest writing a blog article or vice-versa?

My site addresses a lot of the same topics as yours and I feel we
could greatly benefit from each other. If you happen to
be interested feel free to shoot me an e-mail.
I look forward to hearing from you! Wonderful blog by the way!
چهارشنبه 30 فروردین 1396 07:15 ب.ظ
I got this site from my pal who informed me regarding this web page
and at the moment this time I am browsing this site
and reading very informative articles or reviews at this time.
پنجشنبه 30 آبان 1392 11:23 ب.ظ
مطالب منظم و خوبی بود. موفق باشید.
ممنون که برای یادگیری دیگران وقت میزارید.
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر