آموزش ریاضیات دبیرستان - چگونه بین دو عدد گویا،عددی گویا بنویسیم

درباره وبلاگ

اینجانب تقی خواجه دبیر ریاضی شهرستان مینودشت فارغ التحصیل از دانشگاه تربیت معلم تهران(خوارزمی فعلی) دارای دوازده سال سابقه تدریس ریاضی امیدوارم بتوانم نقش کوچکی در جهت گسترش آموزش ریاضی برای دانش آموزان عزیز این مرز و بوم داشته باشم.

مدیر وبلاگ : تقی خواجه

موضوعات

آرشیو وبلاگ

پیوندهای روزانه

نویسندگان

تقی خواجه (166)

صفحات جانبی

آمار وبلاگ

کل بازدید :
بازدید امروز :
بازدید دیروز :
بازدید این ماه :
بازدید ماه قبل :
تعداد نویسندگان :
تعداد کل پست ها :
آخرین بازدید :
آخرین بروز رسانی :

آموزش ریاضیات دبیرستان

ریاضیات برای همه

صفحه نخست تماس با مدیر پست الکترونیک RSS ATOM

چگونه بین دو عدد گویا،عددی گویا بنویسیم

پنجشنبه 20 شهریور 1393 :: نویسنده : تقی خواجه

بین دو عدد طبیعی متوالی عددی طبیعی وجود ندارد.بین دو عدد صحیح متوالی نیز عددی صحیح وجود ندارد.امّا در مورد اعداد گویا چنین نیست منظور اینکه دو عدد گویا هر چقدر هم که به هم نزدیک باشند ، بین آن ها حداقل یک عدد گویا وجود دارد که در ادامه به آن می پردازیم.

خب دوستان، گفتیم که بین دو عدد گویا حداقل یک عدد گویا وجود دارد اکنون با ذکر دلیل آن عدد را ارائه می دهیم.
اگر $a$ و $b$ دو عدد گویا باشند، ( میانگین آن ها ) $\frac{a+b}{2}$ بین آن ها قرار دارد. $\left (a=\frac{m}{n}\quad,\quad b=\frac{r}{s} \right )$

اثبات : فرض کنیم $a< b$ در نتیجه می توان نوشت:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a + a < a + b \Rightarrow 2a < a + b \Rightarrow a < \frac{{a + b}}{2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ a + b < b + b \Rightarrow a + b < 2b \Rightarrow \frac{{a + b}}{2} < b\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.\\ \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\,,\,\left( 2 \right)\, \Rightarrow a < \frac{{a + b}}{2} < b \end{array}$

به خاطر شلوغ نشدن اثبات از نوشت فرم کسری $a$ و $b$ خودداری کرده ایم.

نکته:اگر $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ آنگاه $\frac{a}{b} < \frac{{ad + bc}}{{2bd}} < \frac{c}{d}$ .

با اجازه شما دوستان قصد داریم رابطه $a < \frac{{a + b}}{2} < b$ را تعمیم داده و به یک نتیجه ی جالب برسیم.
فرض کنیم ${a_1} = \frac{{a + b}}{2}$ .حال طبق حکم اثبات شده در بالا داریم:

$a < \frac{{a + {a_1}}}{2} < {a_1} < b$ . با فرض ${a_2} = \frac{{a + {a_1}}}{2}$ می توان نوشت:

${a_2} = \frac{{a + {a_1}}}{2} = \frac{{a + \frac{{a + b}}{2}}}{2} = \frac{{3a + b}}{4} = a + \frac{{b - a}}{4} = a + \frac{{b - a}}{{{2^2}}}$

با تکرار فرایند فوق بدست می آید ${a_n} = a + \frac{{b - a}}{{{2^n}}}$ و در نتیجه $a < {a_{n + 1}} < {a_n} < b$ . واین یعنی بین هر دو عدد گویا نه تنها یک عدد گویا بلکه بی شمار عدد گویا وجود دارد.

به دوستان اوّل دبیرستانی حق می دهم که خسته شوند ولی اگر کمی حوصله به خرج دهند از دلشون در میارم.

بحث را به شیوه کتاب ریاضی اوّل دبیرستان جلو می برم.

مثال1: بین دو عدد گویای $\frac{2}{5},\frac{4}{5}$ عددی گویا بنویسید.
قطعا دوستان قبل از بنده عدد را نوشته اید.این دو عدد گویا دارای مخرج های مساوی هستند و همین طور با مقایسه صورت ها مشاهده می شود که بین اعداد صورت ها عدد $3$ وجود دارد پس حدس می زنیم که عدد $\frac{3}{5}$
بین دو عدد گویای داده شده قرار دارد.البته دوستان مستحضر هستید که وقتی می گوییم عددی بین دو عدد دیگر قرار دارد یعنی از یکی بزرگتر و از دیگری کوچکتر است.( $a< c< b$ یعنی $c$ بین $a,b$ قرار دارد)

مثال2 : بین دو عدد گویای $\frac{3}{7},\frac{4}{7}$ عددی گویا بنویسید.
با مقایسه مثال 1 به نظر می رسد اوضاع وخیم شده است و استدلال ارائه شده در مثال1 جواب نمی دهد.چکار باید کرد؟ شاید در اینجا تساوی کسرها بتواند به کمک ما بیاید.صورت و مخرج هر دو عدد گویا را در عدد 2 ضرب کنید خواهید داشت:

$\frac{3}{7},\frac{4}{7}\rightarrow\frac{6}{14},\frac{8}{14}$

ظاهرا بخت با ما یار بود و این ترفند جواب داد و می توان گفت که عدد $\frac{5}{14}$ بین دو عدد گویای $\frac{3}{7},\frac{4}{7}$ قرار دارد.

نکته: اگر دو عدد گویا دارای مخرج های مساوی باشند و از ما بخواهند که بین آن ها $n$ عدد گویا بنویسیم در این صورت صورت و مخرج هر دو عدد گویا را در $n+1$ (یک واحد بیشتر از تعداد خواسته شده) ضرب می کنیم.

مثال3 : بین دو عدد گویای $\frac{3}{7},\frac{4}{7}$ پنج عدد گویا بنویسید.
حل: صورت و مخرج هر دو عدد گویا را در شش ضرب می کنیم خواهیم داشت:

$\begin{array}{l} \frac{3}{7},\frac{4}{7} \to \frac{{18}}{{42}},\frac{{24}}{{42}} \to \frac{{19}}{{42}},\frac{{20}}{{42}},\frac{{21}}{{42}},\frac{{22}}{{42}},\frac{{23}}{{42}}\\ \end{array}$

مثال 4: بین دو عدد $\frac{1}{2},\frac{5}{7}$ سه عدد گویا بنویسید.

حل: در حالتی که مخرج ها مسا وی نیستند ابتدا مخرج ها را یکسان نموده و سپس مانند مثال های فوق عمل می کنیم.

$\frac{1}{2},\frac{5}{7}\rightarrow \frac{7}{14},\frac{10}{14}\rightarrow \frac{28}{56},\frac{40}{56}\rightarrow \frac{29}{56},\frac{30}{56},\frac{31}{56},\frac{32}{56}$

در ادامه نکته ای را برای شما بیان و اثبات می کنیم که احتمالا به ما کمک می کند تا سریع تر بتوانیم بین دو عدد گویا به تعداد خواسته شده عدد گویا بنویسیم.

نکته: اگر $\frac{a}{b}< \frac{c}{d}$ باشد در این صورت $\frac{a}{b} < \frac{{a + c}}{{b + d}} < \frac{c}{d}$ .

اثبات:(اعداد $a,b,c,d$ را مثبت در نظر می گیریم)

می دانیم $\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \Rightarrow ad < bc$ بنابراین داریم:

$\left\{ \begin{array}{l} ad < bc \Rightarrow ab + ad < ab + bc \Rightarrow a\left( {b + d} \right) < b\left( {a + c} \right) \Rightarrow \frac{a}{b} < \frac{{a + c}}{{b + d}}\,\,\left( 1 \right)\\ ad < bc \Rightarrow cd + ad < cd + bc \Rightarrow d\left( {a + c} \right) < c\left( {b + d} \right) \Rightarrow \frac{{a + c}}{{b + d}} < \frac{c}{d}\,\,(2 \end{array} \right.$

$\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \frac{a}{b} < \frac{{a + c}}{{b + d}} < \frac{c}{d}$

مثال5:بین دو عدد گویای $\frac{1}{3},\frac{2}{5}$ پنج عدد گویا بنویسید.

حل: می دانیم $\frac{1}{3}< \frac{2}{5}$ .بنابراین کافیست بین این دو عدد گویا پنج خط کسری قرار داده و صورت و مخرج آن ها را با استفاده از نکته فوق تکمیل کنیم.

$\frac{1}{3},\_\,,\_\,,\_\,,\_\,,\frac{2}{5}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{3},\frac{3}{8}\,,\_\,,\_\,,\_\,,\frac{2}{5}\\\\ \frac{1}{3},\frac{3}{8}\,,\frac{5}{{13}}\,,\_\,,\_\,,\frac{2}{5}\\\\ \frac{1}{3},\frac{3}{8}\,,\frac{5}{{13}}\,,\frac{7}{{18}}\,,\_\,,\frac{2}{5}\\\\ \frac{1}{3},\frac{3}{8}\,,\frac{5}{{13}}\,,\frac{7}{{18}}\,,\frac{9}{{23}}\,,\frac{2}{5} \end{array}$

تمرین1: ثابت کنید اگر $\frac{a}{b} < - \frac{2}{3}$ در این صورت $\frac{a}{b} < \frac{{3a + 4}}{{3b - 6}} < - \frac{2}{3}$ .( $b\neq 0,2$ )

تمرین2 :اگر $\frac{2}{5},\frac{x}{3}$ و $\frac{x}{3}< \frac{2}{5}$ ثابت کنید: $\frac{x}{3}<\frac{2x+2}{11}< \frac{2}{5}$

در پایان قصد دارم حکمی قوی تر از نکته بالا را برای شما عزیزان اثبات نمایم لطفا بحث را در ادامه ی مطلب
دنبال کنید...

نکته :اگر $\frac{a}{b}< \frac{c}{d}$ و $m,n$ اعدادی طبیعی باشند ثابت کنید: $\frac{a}{b} < \frac{{ma + nc}}{{mb + nd}} < \frac{c}{d}$

اثبات: می دانیم $\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \Rightarrow ad < bc$ بنابراین داریم

$\left\{ \begin{array}{l} ad < bc \Rightarrow mad < mbc \Rightarrow mad + ncd < mbc + ncd \Rightarrow \\ d\left( {ma + nc} \right) < c\left( {mb + nd} \right) \Rightarrow \frac{{ma + nc}}{{mb + nd}} < \frac{c}{d}\,\,\left( 1 \right)\\\\ ad < bc \Rightarrow nad < nbc \Rightarrow nad + mab < nbc + mab \Rightarrow \\ a\left( {mb + nd} \right) < b\left( {ma + nc} \right) \Rightarrow \frac{a}{b} < \frac{{ma + nc}}{{mb + nd}}\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.$

$\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \frac{a}{b} < \frac{{ma + nc}}{{mb + nd}} < \frac{c}{d}$

مثال:بین دو عدد گویای $\frac{4}{7},\frac{3}{5}$ پنج عدد گویا بنویسید.

حل: کافیست با استفاده از نکته ی فوق به جای $m,n$ اعداد طبیعی قرار داده و اعداد گویای متناظر را بیابیم.

$m = 1,n = 3 \Rightarrow \frac{{1\left( 4 \right) + 3\left( 3 \right)}}{{1\left( 7 \right) + 3\left( 5 \right)}} = \frac{{13}}{{22}}$

$m = 1,n = 1 \Rightarrow \frac{{1\left( 4 \right) + 1\left( 3 \right)}}{{1\left( 7 \right) + 1\left( 5 \right)}} = \frac{7}{{12}}$

$m = 1,n = 2 \Rightarrow \frac{{1\left( 4 \right) + 2\left( 3 \right)}}{{1\left( 7 \right) + 2\left( 5 \right)}} = \frac{{10}}{{17}}$

$m = 3,n = 2 \Rightarrow \frac{{3\left( 4 \right) + 2\left( 3 \right)}}{{3\left( 7 \right) + 2\left( 5 \right)}} = \frac{{18}}{{31}}$

$m = 2,n = 3 \Rightarrow \frac{{2\left( 4 \right) + 3\left( 3 \right)}}{{2\left( 7 \right) + 3\left( 5 \right)}} = \frac{{17}}{{29}}$

موفق باشید

نوع مطلب : ریاضیات۱،
برچسب ها : اعداد گویا، نوشتن اعداد گویا بین دو عددگویا، اعداد گویای بین دو عدد گویا،
لینک های مرتبط :

نظرات ()

شنبه 19 مهر 1393 07:27 ب.ظ

fatemeh

Salam
Vaqan mamnooonam !!!!!!
Kheyli mamnoon !!!!
Bazam mamnoonam :)!

جمعه 18 مهر 1393 09:53 ق.ظ

fatemeh

Salami dobare
http://www.axgig.com/images/15674294464556114780.jpg
&
http://www.axgig.com/images/71423806597950424095.jpg
In ghesmata ke chejuri esbat
mikonio nemifahmam :((
Emkanesh hast ke tozih bedi ?!
Mamnoon

تقی خواجهسلام توضیحات کامل تر را در قالب pdf به جیمیل شما ارسال کرده ام .حتما جیمیل تان را چک کنید.موفق باشید

پنجشنبه 17 مهر 1393 03:43 ب.ظ

fatemeh

Salam mamnoon babate esbatha
Vali ooOn ghesmati ke baraye esbaat adad ro Dar ye adadi zarb mikoni dark nemikonam mishe tozih bedi ?!

تقی خواجهدوست عزیز من دقیقا نفهمیدم منظورتان کدوم قسمت اثبات ها می باشد اگر واضحتر مشخص کنید حتما رفع ابهام خواهم کرد با تشکر از بازدید شما

سه شنبه 8 مهر 1393 10:32 ب.ظ

پریا

خیلی مفید بود متشکرم