آموزش ریاضیات دبیرستان - چگونه بین دو عدد گویا،عددی گویا بنویسیم

درباره وبلاگ

تقی خواجه دبیر ریاضی شهرستان مینودشت
کارشناسی: دبیری ریاضی دانشگاه تربیت معلم تهران(خوارزمی فعلی)
کارشناسی ارشد: ریاضی محض (آنالیز) دانشگاه گلستان
سابقه تدریس :22 سال
امیدوارم بتوانم نقش کوچکی در جهت گسترش آموزش ریاضی برای دانش آموزان عزیز این مرز و بوم داشته باشم.

مدیر وبلاگ : تقی خواجه

موضوعات

آرشیو وبلاگ

پیوندهای روزانه

نویسندگان

تقی خواجه (173)

صفحات جانبی

آمار وبلاگ

کل بازدید :
بازدید امروز :
بازدید دیروز :
بازدید این ماه :
بازدید ماه قبل :
تعداد نویسندگان :
تعداد کل پست ها :
آخرین بازدید :
آخرین بروز رسانی :

آموزش ریاضیات دبیرستان

ریاضیات برای همه

صفحه نخست تماس با مدیر پست الکترونیک RSS ATOM

چگونه بین دو عدد گویا،عددی گویا بنویسیم

پنجشنبه 20 شهریور 1393 :: نویسنده : تقی خواجه

بین دو عدد طبیعی متوالی عددی طبیعی وجود ندارد.بین دو عدد صحیح متوالی نیز عددی صحیح وجود ندارد.امّا در مورد اعداد گویا چنین نیست منظور اینکه دو عدد گویا هر چقدر هم که به هم نزدیک باشند ، بین آن ها حداقل یک عدد گویا وجود دارد که در ادامه به آن می پردازیم.

خب دوستان، گفتیم که بین دو عدد گویا حداقل یک عدد گویا وجود دارد اکنون با ذکر دلیل آن عدد را ارائه می دهیم.
اگر $a$ و $b$ دو عدد گویا باشند، ( میانگین آن ها ) $\frac{a+b}{2}$ بین آن ها قرار دارد. $\left (a=\frac{m}{n}\quad,\quad b=\frac{r}{s} \right )$

اثبات : فرض کنیم $a< b$ در نتیجه می توان نوشت:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a + a < a + b \Rightarrow 2a < a + b \Rightarrow a < \frac{{a + b}}{2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ a + b < b + b \Rightarrow a + b < 2b \Rightarrow \frac{{a + b}}{2} < b\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.\\ \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\,,\,\left( 2 \right)\, \Rightarrow a < \frac{{a + b}}{2} < b \end{array}$

به خاطر شلوغ نشدن اثبات از نوشت فرم کسری $a$ و $b$ خودداری کرده ایم.

نکته:اگر $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ آنگاه $\frac{a}{b} < \frac{{ad + bc}}{{2bd}} < \frac{c}{d}$ .

با اجازه شما دوستان قصد داریم رابطه $a < \frac{{a + b}}{2} < b$ را تعمیم داده و به یک نتیجه ی جالب برسیم.
فرض کنیم ${a_1} = \frac{{a + b}}{2}$ .حال طبق حکم اثبات شده در بالا داریم:

$a < \frac{{a + {a_1}}}{2} < {a_1} < b$ . با فرض ${a_2} = \frac{{a + {a_1}}}{2}$ می توان نوشت:

${a_2} = \frac{{a + {a_1}}}{2} = \frac{{a + \frac{{a + b}}{2}}}{2} = \frac{{3a + b}}{4} = a + \frac{{b - a}}{4} = a + \frac{{b - a}}{{{2^2}}}$

با تکرار فرایند فوق بدست می آید ${a_n} = a + \frac{{b - a}}{{{2^n}}}$ و در نتیجه $a < {a_{n + 1}} < {a_n} < b$ . واین یعنی بین هر دو عدد گویا نه تنها یک عدد گویا بلکه بی شمار عدد گویا وجود دارد.

به دوستان اوّل دبیرستانی حق می دهم که خسته شوند ولی اگر کمی حوصله به خرج دهند از دلشون در میارم.

بحث را به شیوه کتاب ریاضی اوّل دبیرستان جلو می برم.

مثال1: بین دو عدد گویای $\frac{2}{5},\frac{4}{5}$ عددی گویا بنویسید.
قطعا دوستان قبل از بنده عدد را نوشته اید.این دو عدد گویا دارای مخرج های مساوی هستند و همین طور با مقایسه صورت ها مشاهده می شود که بین اعداد صورت ها عدد $3$ وجود دارد پس حدس می زنیم که عدد $\frac{3}{5}$
بین دو عدد گویای داده شده قرار دارد.البته دوستان مستحضر هستید که وقتی می گوییم عددی بین دو عدد دیگر قرار دارد یعنی از یکی بزرگتر و از دیگری کوچکتر است.( $a< c< b$ یعنی $c$ بین $a,b$ قرار دارد)

مثال2 : بین دو عدد گویای $\frac{3}{7},\frac{4}{7}$ عددی گویا بنویسید.
با مقایسه مثال 1 به نظر می رسد اوضاع وخیم شده است و استدلال ارائه شده در مثال1 جواب نمی دهد.چکار باید کرد؟ شاید در اینجا تساوی کسرها بتواند به کمک ما بیاید.صورت و مخرج هر دو عدد گویا را در عدد 2 ضرب کنید خواهید داشت:

$\frac{3}{7},\frac{4}{7}\rightarrow\frac{6}{14},\frac{8}{14}$

ظاهرا بخت با ما یار بود و این ترفند جواب داد و می توان گفت که عدد $\frac{5}{14}$ بین دو عدد گویای $\frac{3}{7},\frac{4}{7}$ قرار دارد.

نکته: اگر دو عدد گویا دارای مخرج های مساوی باشند و از ما بخواهند که بین آن ها $n$ عدد گویا بنویسیم در این صورت صورت و مخرج هر دو عدد گویا را در $n+1$ (یک واحد بیشتر از تعداد خواسته شده) ضرب می کنیم.

مثال3 : بین دو عدد گویای $\frac{3}{7},\frac{4}{7}$ پنج عدد گویا بنویسید.
حل: صورت و مخرج هر دو عدد گویا را در شش ضرب می کنیم خواهیم داشت:

$\begin{array}{l} \frac{3}{7},\frac{4}{7} \to \frac{{18}}{{42}},\frac{{24}}{{42}} \to \frac{{19}}{{42}},\frac{{20}}{{42}},\frac{{21}}{{42}},\frac{{22}}{{42}},\frac{{23}}{{42}}\\ \end{array}$

مثال 4: بین دو عدد $\frac{1}{2},\frac{5}{7}$ سه عدد گویا بنویسید.

حل: در حالتی که مخرج ها مسا وی نیستند ابتدا مخرج ها را یکسان نموده و سپس مانند مثال های فوق عمل می کنیم.

$\frac{1}{2},\frac{5}{7}\rightarrow \frac{7}{14},\frac{10}{14}\rightarrow \frac{28}{56},\frac{40}{56}\rightarrow \frac{29}{56},\frac{30}{56},\frac{31}{56},\frac{32}{56}$

در ادامه نکته ای را برای شما بیان و اثبات می کنیم که احتمالا به ما کمک می کند تا سریع تر بتوانیم بین دو عدد گویا به تعداد خواسته شده عدد گویا بنویسیم.

نکته: اگر $\frac{a}{b}< \frac{c}{d}$ باشد در این صورت $\frac{a}{b} < \frac{{a + c}}{{b + d}} < \frac{c}{d}$ .

اثبات:(اعداد $a,b,c,d$ را مثبت در نظر می گیریم)

می دانیم $\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \Rightarrow ad < bc$ بنابراین داریم:

$\left\{ \begin{array}{l} ad < bc \Rightarrow ab + ad < ab + bc \Rightarrow a\left( {b + d} \right) < b\left( {a + c} \right) \Rightarrow \frac{a}{b} < \frac{{a + c}}{{b + d}}\,\,\left( 1 \right)\\ ad < bc \Rightarrow cd + ad < cd + bc \Rightarrow d\left( {a + c} \right) < c\left( {b + d} \right) \Rightarrow \frac{{a + c}}{{b + d}} < \frac{c}{d}\,\,(2 \end{array} \right.$

$\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \frac{a}{b} < \frac{{a + c}}{{b + d}} < \frac{c}{d}$

مثال5:بین دو عدد گویای $\frac{1}{3},\frac{2}{5}$ پنج عدد گویا بنویسید.

حل: می دانیم $\frac{1}{3}< \frac{2}{5}$ .بنابراین کافیست بین این دو عدد گویا پنج خط کسری قرار داده و صورت و مخرج آن ها را با استفاده از نکته فوق تکمیل کنیم.

$\frac{1}{3},\_\,,\_\,,\_\,,\_\,,\frac{2}{5}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{3},\frac{3}{8}\,,\_\,,\_\,,\_\,,\frac{2}{5}\\\\ \frac{1}{3},\frac{3}{8}\,,\frac{5}{{13}}\,,\_\,,\_\,,\frac{2}{5}\\\\ \frac{1}{3},\frac{3}{8}\,,\frac{5}{{13}}\,,\frac{7}{{18}}\,,\_\,,\frac{2}{5}\\\\ \frac{1}{3},\frac{3}{8}\,,\frac{5}{{13}}\,,\frac{7}{{18}}\,,\frac{9}{{23}}\,,\frac{2}{5} \end{array}$

تمرین1: ثابت کنید اگر $\frac{a}{b} < - \frac{2}{3}$ در این صورت $\frac{a}{b} < \frac{{3a + 4}}{{3b - 6}} < - \frac{2}{3}$ .( $b\neq 0,2$ )

تمرین2 :اگر $\frac{2}{5},\frac{x}{3}$ و $\frac{x}{3}< \frac{2}{5}$ ثابت کنید: $\frac{x}{3}<\frac{2x+2}{11}< \frac{2}{5}$

در پایان قصد دارم حکمی قوی تر از نکته بالا را برای شما عزیزان اثبات نمایم لطفا بحث را در ادامه ی مطلب
دنبال کنید...

نکته :اگر $\frac{a}{b}< \frac{c}{d}$ و $m,n$ اعدادی طبیعی باشند ثابت کنید: $\frac{a}{b} < \frac{{ma + nc}}{{mb + nd}} < \frac{c}{d}$

اثبات: می دانیم $\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \Rightarrow ad < bc$ بنابراین داریم

$\left\{ \begin{array}{l} ad < bc \Rightarrow mad < mbc \Rightarrow mad + ncd < mbc + ncd \Rightarrow \\ d\left( {ma + nc} \right) < c\left( {mb + nd} \right) \Rightarrow \frac{{ma + nc}}{{mb + nd}} < \frac{c}{d}\,\,\left( 1 \right)\\\\ ad < bc \Rightarrow nad < nbc \Rightarrow nad + mab < nbc + mab \Rightarrow \\ a\left( {mb + nd} \right) < b\left( {ma + nc} \right) \Rightarrow \frac{a}{b} < \frac{{ma + nc}}{{mb + nd}}\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.$

$\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \frac{a}{b} < \frac{{ma + nc}}{{mb + nd}} < \frac{c}{d}$

مثال:بین دو عدد گویای $\frac{4}{7},\frac{3}{5}$ پنج عدد گویا بنویسید.

حل: کافیست با استفاده از نکته ی فوق به جای $m,n$ اعداد طبیعی قرار داده و اعداد گویای متناظر را بیابیم.

$m = 1,n = 3 \Rightarrow \frac{{1\left( 4 \right) + 3\left( 3 \right)}}{{1\left( 7 \right) + 3\left( 5 \right)}} = \frac{{13}}{{22}}$

$m = 1,n = 1 \Rightarrow \frac{{1\left( 4 \right) + 1\left( 3 \right)}}{{1\left( 7 \right) + 1\left( 5 \right)}} = \frac{7}{{12}}$

$m = 1,n = 2 \Rightarrow \frac{{1\left( 4 \right) + 2\left( 3 \right)}}{{1\left( 7 \right) + 2\left( 5 \right)}} = \frac{{10}}{{17}}$

$m = 3,n = 2 \Rightarrow \frac{{3\left( 4 \right) + 2\left( 3 \right)}}{{3\left( 7 \right) + 2\left( 5 \right)}} = \frac{{18}}{{31}}$

$m = 2,n = 3 \Rightarrow \frac{{2\left( 4 \right) + 3\left( 3 \right)}}{{2\left( 7 \right) + 3\left( 5 \right)}} = \frac{{17}}{{29}}$

موفق باشید

نوع مطلب : ریاضیات۱،
برچسب ها : اعداد گویا، نوشتن اعداد گویا بین دو عددگویا، اعداد گویای بین دو عدد گویا،
لینک های مرتبط :

نظرات ()

یکشنبه 24 آذر 1398 06:33 ب.ظ

coconut oil

wonderful submit, very informative. I'm wondering why the opposite experts of this sector do not notice this.
You should continue your writing. I'm sure, you've a huge readers' base already!

شنبه 23 آذر 1398 04:34 ق.ظ

ps4 games

Thanks for the good writeup. It in fact was a amusement account it.
Glance advanced to far brought agreeable from you!

By the way, how could we be in contact?

سه شنبه 19 آذر 1398 11:22 ق.ظ

ps4 games

Hi, yup this piece of writing is in fact nice and I have learned lot of things from it about blogging.
thanks.

سه شنبه 19 آذر 1398 10:57 ق.ظ

quest bars cheap

Hi to all, as I am genuinely keen of reading this weblog's post to be updated on a regular basis.

It includes pleasant material.

دوشنبه 18 آذر 1398 08:49 ب.ظ

NaomiJag

Download ringtones, message tones, alert tones etc... Free mobile ringtones for all type of phones, shared and submitted by our users. Choose from over 41000 ringtones uploaded under various categories. Get the latest ringtones in mp3 file format and set the coolest, trendiest tone as your mobile ringtone.<br>

<a href=https://dolotnuthietke.com/sitesmapes.php>xiaomi ringtone download mp3</a>
<a href=https://dolotnuthietke.com>ringtone download mp3 music</a>
<br>

Access unlimited number of ringtones and download them with out sign up or registration. Surveys reveal that more than half of the mobile phone users between 15 to 30 years of age download ringtones at least once. To upload and share your collection of ringtones with other, click the 'Upload Ringtone' button and submit .mp3 files under 2MB in size.<br>

<a href="http://www.arezohaa.ir/post/13056/">vaaste ringtone download mp3</a>
<a href="http://www.arezohaa.ir/post/2325/">vaaste ringtone download mp3</a>
2851f37

دوشنبه 18 آذر 1398 03:13 ب.ظ

quest bars cheap

Howdy! Would you mind if I share your blog with my myspace
group? There's a lot of people that I think would really appreciate your
content. Please let me know. Thank you

جمعه 15 آذر 1398 07:05 ق.ظ

ps4 games

Tremendous issues here. I'm very happy to look your article.
Thank you so much and I am taking a look forward to contact you.

Will you please drop me a e-mail?

جمعه 15 آذر 1398 03:38 ق.ظ

ps4 games

This post is really a fastidious one it assists new internet users, who are
wishing for blogging.

پنجشنبه 14 آذر 1398 12:23 ق.ظ

ps4 games

WOW just what I was searching for. Came here by searching for ps4
games

سه شنبه 12 آذر 1398 12:33 ق.ظ

quest bars cheap coupon twitter

Unquestionably consider that that you stated. Your favorite reason seemed to
be at the net the simplest factor to remember of. I say to you, I definitely get annoyed whilst people consider worries that they plainly don't recognise about.
You managed to hit the nail upon the top and also outlined out the entire thing without having side-effects , people could take a signal.
Will probably be again to get more. Thanks

دوشنبه 11 آذر 1398 01:58 ق.ظ

quest bars cheap

If you are going for most excellent contents like myself, simply pay a visit this site all the
time for the reason that it presents quality contents, thanks

شنبه 9 آذر 1398 02:51 ق.ظ

ps4 games

What's up, every time i used to check website posts here early in the
morning, as i enjoy to learn more and more.

جمعه 8 آذر 1398 04:15 ق.ظ

ps4 games

I used to be able to find good advice from your blog posts.

سه شنبه 28 آبان 1398 12:32 ب.ظ

tinyurl.com

Hello, its good article concerning media print, we all be aware
of media is a great source of information.

دوشنبه 27 آبان 1398 09:11 ق.ظ