تبلیغات
آموزش ریاضیات دبیرستان - مطالب مهر 1392
 
درباره وبلاگ


اینجانب تقی خواجه دبیر ریاضی شهرستان مینودشت فارغ التحصیل از دانشگاه تربیت معلم تهران(خوارزمی فعلی) دارای دوازده سال سابقه تدریس ریاضی امیدوارم بتوانم نقش کوچکی در جهت گسترش آموزش ریاضی برای دانش آموزان عزیز این مرز و بوم داشته باشم.

مدیر وبلاگ : تقی خواجه
نویسندگان
نظرسنجی
دوست دارید چه مطالبی در وبلاگ قرار داده شود؟








آمار وبلاگ
  • کل بازدید :
  • بازدید امروز :
  • بازدید دیروز :
  • بازدید این ماه :
  • بازدید ماه قبل :
  • تعداد نویسندگان :
  • تعداد کل پست ها :
  • آخرین بازدید :
  • آخرین بروز رسانی :
آموزش ریاضیات دبیرستان
ریاضیات برای همه
صفحه نخست             تماس با مدیر           پست الکترونیک               RSS                  ATOM
جمعه 26 مهر 1392 :: نویسنده : تقی خواجه
دایره مکان هندسی نقاطی از صفحه است که فاصله ی آن ها از یک نقطه ی ثابت مقدار ثابتی می باشد.





سهمی مکان هندسی نقاطی از صفحه است که فاصله ی آن ها از یک نقطه ی ثابت و یک خط ثابت با هم برابر است.







بیضی مکان هندسی نقاطی از صفحه است که مجموع فاصله های آن ها از دو نقطه ی ثابت مقدار ثابتی    می باشد.




هذلولی مکان هندسی نقاطی از صفحه است که قدر مطلق تفاضل فاصله های آن ها از دو نقطه ی ثابت مقدار ثابتی می باشد.








مطلب ناتمام


انسان هم می‌تونه دایره باشه هم یه خط راست ،تا ابد دورخودت بچرخی یا تا بی نهایت ادامه بدی.





نوع مطلب : جبر خطی و هندسه تحلیلی، 
برچسب ها : مکان هندسی، بیضی، دایره، سهمی،
لینک های مرتبط :


دوشنبه 22 مهر 1392 :: نویسنده : تقی خواجه
در پاسخ دوست عزیزی که از بنده خواسته اند روش رسم اعداد گنگ بزرگ را بیان کنیم (ایشان را مثال زده اند ) باید عرض کنم که روش متداول برای رسم اعداد گنگ به صورت   که در آن مربع کامل نباشد از مثلث های قائم الزاویه استفاده می کنیم. و اساسا چون این روش یک روش هندسی می باشد معمولا کار کردن با طول های بزرگ و نمایش آن ها روی محورممکن است آزار دهنده باشد و فقط شاید انتخاب واحد کوچکتر بر روی محور اعداد کمی تسکین دهنده باشد. روش نمایش روی محور را می توانید در تصویر زیر ببینید.

برای رسم شکل زیر ابتدا به کمک مثلث قائم الزاویه ای به ابعاد زاویه ی قائمه ی 5و1 ،نقطه ی متناظر با
  را رسم کرده و سپس در این نقطه پاره خطی به طول 7 عمود می کنیم تا مثلث قائم الزاویه ای با طول وتر ساخته شود.البته با اعداد دیگری نیز می توان را ساخت(به کمک قضیه فیثاغورس).



روش دوم:

می دانیم:                                                        

پس کافیست ابتدا نقطه متناظر با   را پیدا نموده و سپس با شروع از مبداء 5 دایره به شعاع پشت سر هم رسم کنیم تا به نقطه ی متناظر با    برسیم.(جزئیات را در تصویر ببینید)





برای انسان های بزرگ هیچ بن بستی وجود ندارد زیرا بر این باورند که یا راهی خواهم یافت و یا راهی خواهم ساخت.

                                 





نوع مطلب :
برچسب ها :
لینک های مرتبط :


دوشنبه 22 مهر 1392 :: نویسنده : تقی خواجه
مساله1: فرض کنید   اعداد حقیقی مثبت باشند به طوری که   ثابت کنید:



پاسخ:   می دانیم    بنابراین:



در حل مساله فوق از نامساوی واسطه حسابی و هندسی نیز استفاده شده است.


مساله2:فرض کنید   اعداد حقیقی مثبت باشند به طوری که   ثابت کنید:





پاسخ :





 




چون   در نتیجه :






مساله 3:برای اعداد حقیقی مثبت نشان دهید نامساوی زیر برقرار است:



پاسخ:









برای اثبات نامساوی بالا نیاز به اثبات دو نامساوی زیر داریم:


(1)                      و  ( 2)  


نامساوی (2) با استفاده از نامساوی واسطه حسابی و هندسی واضح است امّا اثبات نامساوی(1) به

صورت زیر است:






     



در اثبات نامساوی (1)  از نامساوی   و نامساوی واسطه حسابی و هندسی استفاده شده است. به این ترتیب نامساوی اصلی نیز ثابت می شود.


در ادامه مطلب ببینید...


ادامه مطلب


نوع مطلب :
برچسب ها : نامساوی ها، مسائل نامساوی، ماراتن نامساوی ها، حل مساله از نامساوی ها،
لینک های مرتبط :


جمعه 19 مهر 1392 :: نویسنده : تقی خواجه
مساله7 صفحه 12 کتاب ریاضیات2 (سال دوّم رشته های تجربی،ریاضی و فنّی و حرفه ای):
اگر مساحت یک دایره برابر   و داخل آن دو دایره به شکل روبرو رسم کنیم و مجموع مساحت آن ها را بنامیم ، با تکرار این عملیّات دنباله ی    ساخته می شود. جمله ی عمومی این دنباله را بدست آورید و نشان دهید این یک دنباله ی هندسی است.



پاسخ مساله: شعاع اولین دایره را   می نامیم.بنابراین ، مساحت اولین دایره ، است ، یعنی  . در مرحله ی دوم دو دایره با شعاع   داریم که مساحت آن ها خواهد بود یعنی . در مرحله ی سوم چهار دایره داریم با شعاع   و مجموع مساحت آن ها  یعنی   بود. در هر مرحله تعداد دایره ها دو برابر تعداد دایره های مرحله ی قبل و شعاع دایره ها نصف شعاع دایره های مرحله ی قبل است.بنابراین شعاع دایره ها یک دنباله به صورت

  و تعداد دایره ها یک دنباله به صورت خواهد بود. بنابراین در مرحله ی ام شعاع دایره ها برابر   و تعداد آن ها   است و مجموع مساحت آن ها است یعنی:





بنابراین دنباله فوق یک دنباله ی هندسی با جمله اول و قدر نسبت   است.
و امّا دوستان عزیز  نگاه بنده به این مساله و البته شکل مرتبط با آن به عنوان یک فراکتال (شکل های خودمتشابه که بخشی از آن ها می تواند کل شکل را تولید کند) بوده است و هدف حل این مساله نبوده چرا که این مساله در کلاس درس توسط همکاران عزیز و دانش آموزان گرامی مفصّل بحث می شود.بالاخره پس ازچند روز کلنجار رفتن با این شکل فراکتال آن را ساختم و خیالم راحت شد .البته چیزی که شما دوستان درشکل زیر می بینید فقط چند مرحله اول آن می باشد و برای دیدن مراحل بیشتر لازم است شکل بزرگتر رسم شود که در ابعاد استاندارد صفحات وبلاگ نمی گنجد. امیدوارم همین اندک ، مقبول نگاه بلند شماعزیزان افتد.                        موفق باشید







چشم ها را باید شست ، جور دیگر باید دید            (سهراب سپهری)
 





نوع مطلب : هندسه2، ریاضیات2، 
برچسب ها : فراکتال دایره ها، دنباله هندسی و یک فراکتال، فراکتال،
لینک های مرتبط :


دوشنبه 15 مهر 1392 :: نویسنده : تقی خواجه
تعریف لگاریتم :           ( )                     

حالت خاص :                               



قواعد محاسبه با لگاریتم:





( )                    





















(پایه لگاریتم ها باید برابر باشد)                         


مثال1: اگر   اعداد مثبت بزرگتر از یک باشند ، عبارت زیر را ساده کنید.



حل:







مثال2: اگر     و   ، مقدار    را بر حسب و   بدست آورید.

حل:
 






بقیه بحث را در ادامه مطلب ببینید...







ادامه مطلب


نوع مطلب :
برچسب ها : لگاریتم، قواعد محاسبه با لگاریتم، لگاریتم و مسائل، تعریف لگاریتم،
لینک های مرتبط :


در صفحه 5 کتاب ریاضیات1 سال اول دبیرستان (تمرین در کلاس) مساله بسیار جالبی آمده است که صورت و حل آن را در زیر برای شما عزیزان می آورم . از آنجا که تعمیم این مساله در سال های بالاتر (حسابان سوم ریاضی وحساب دیفرانسیل و انتگرال) نیز آمده است نظر بنده را جلب کرد که بحثی پیرامون آن داشته باشم .امیدوارم موجبات رضایت شما کاربران عزیز و همه علاقه مندان به ریاضی را فراهم نماید.

مساله: تمام مستطیل هایی را رسم کنید که محیط آن ها برابر 20 بوده و طول و عرض آن ها عدد طبیعی باشد.

حل:                          
                                                              

همانطور که در بالا می بینید ابتدا فرمول محیط مستطیل را برای این مساله نوشته و برابر 20 قرار دادیم و از آنجا مجموع طول و عرض مستطیل را بدست آوردیم ، اعداد طبیعی که می توانند به عنوان طول و عرض مستطیل قرار بگیرند را در پرانتز های بالا نوشته ایم . در کتاب درسی از ما خواسته شده است که مساحت این مستطیل ها را بدست آوریم و ببینیم که کدام مستطیل بیشترین مساحت را دارد.با محاسبه مساحت ها مشاهده می شود مستطیلی بیشترین مساحت را دارد که طول و عرض ان با هم برابر باشند یعنی مستطیل به مربع تبدیل شود. نتیجه این تمرین را می توان به صورت زیر بیان کرد.
از بین مستطیل هایی که محیط آن ها مقدار ثابتی است مستطیلی بیشترین مساحت را دارد که طول و عرض آن با هم برابر باشند.

هدف از آوردن این مساله در سال اول تمرین بیشتر با اعداد طبیعی و تعمیق مفهوم شمارش (اندازه گیری به کمک اعداد طبیعی) بوده است امّا تعمیم این مساله نیز جالب است و جزء مسائل کاربردی ریاضیات محسوب می شود که در ادامه به آن می پردازیم:

تعمیم مساله فوق را ذیلا بیان نموده و به شرح و تفصیل آن می پردازیم .منظور از تعمیم این است که در سال اول دبیرستان ابعاد مستطیل ها را اعداد طبیعی در نظر گرفته ایم امّا اکنون می خواهیم ابعاد مستطیل را اعداد حقیقی مثبت در نظر بگیریم . اگر ابعاد مستطیل ها عدد طبیعی باشند رسم تمام مستطیل ها میسّر می باشد ولی اگر ابعاد مستطیل ها را اعداد حقیقی مثبت در نظر بگیریم رسم تمام مستطیل ها به راحتی ممکن نیست ،امّا شما دوستان همراه نگران نباشید انیمیشنی برای شما آماده کرده ام که امیدوارم درک عمیق تری از این مساله در شما دانش آموزان عزیز ایجاد کند. توجه شما را به این نکته جلب کنم که در این انیمیشن به خاطر بزرگ نشدن ابعاد تصویر ، مستطیل هایی نمایش داده می شوند که محیط آن ها برابر 10 می باشد.





تعمیم مساله:از بین مستطیل هایی که محیط آن ها مقدار ثابتی می باشد کدام مستطیل بیشترین مساحت را دارد؟

حل:

                          






بیشترین مقدار تابع ، بازای   بدست می آید که با جایگذاری مقدار بدست آمده برای در رابطه   برای مقدار   حاصل می شود و نتیجه اینکه از بین مستطیل های با محیط ثابت ، مستطیلی بیشترین مساحت را دارد که طول و عرض آن با هم برابر باشند .

در روابط بالا محیط ،   تابع مساحت و یک عدد حقیقی مثبت می باشد.

در انیمیشن ارائه شده بیشترین مساحت مستطیل ها بازای بدست می آید که می توانید روی شکل ببینید.







روش دیگر حل این مساله به کمک مفهوم مشتق می باشد که کاربران عزیز می توانند روش را پیگیری نمایند.

بقیه بحث را در ادامه مطلب ببینید...

ناتانائیل! ای کاش عظمت در نگاه تو باشد نه در آنچه که می بینی ...

(آندره ژید مائده های زمینی)




ادامه مطلب


نوع مطلب : حساب دیفرانسیل و انتگرال، حسابان، ریاضیات۱، 
برچسب ها : ماکزیمم و مینیمم در ریاضیات، مسائل ماکزیمم و مینیمم، کاربرد ماکزیمم و مینیمم، تعمیم یک مساله از ماکزیمم و مینیمم، انیمیشن ماکزیمم و مینیمم، مستطیل با بیشترین مساحت، مستطیل های با محیط ثابت،
لینک های مرتبط :


در یکی از پست های قبلی روش پیدا کردن نقطه متناظر با برخی از اعداد گنگ(از نوع رادیکالی) را بر روی محور اعداد توضیح دادیم امّا چون گفته بودیم که بحث در سطح ریاضیات1 می باشد تصمیم گرفتم روش پیدا کردن نقطه متناظر با عدد   را که به اطلاعاتی در سطح ریاضیات2 نیاز است در پست جداگانه ای تقدیم علاقه مندان نمایم .

برای پیداکردن نقطه متناظر با عدد    ابتدا   را روی محور xها پیدا نموده و سپس نمودار تابع    را رسم می کنیم .از نقطه متناظر با عدد عمودی بر محور xها را رسم می کنیم تا نمودار تابع   را قطع کند و در پایان از این نقطه (نقطه برخورد خط عمود و نمودار تابع) عمودی بر مجور yها رسم می کنیم.نقطه برخورد خط عمود بر محور yها و محور yها متناظر عدد است.جزئیات را می توانید در شکل زیر ببینید.





نوع مطلب : ریاضیات2، 
برچسب ها :
لینک های مرتبط :


جمعه 5 مهر 1392 :: نویسنده : تقی خواجه
دنباله: به تعدادی عدد که پشت سر هم نوشته شوند دنباله می گوییم.به هر یک از اعدادی که دنباله را تشکیل می دهند جمله می گوییم. برای نمایش دنباله معمولا از حروف کوچک انگلیسی استفاده می کنیم.با ارائه ی چند مثال شرایط را برای ادامه بحث فراهم می کنیم.













به دنباله های فوق با دقت نگاه کنید، آیا ارتباطی بین جمله های دنباله می بینید؟ به نظر شما آیا الگویی بر جملات دنباله حاکم است؟ آیا قاعده ای وجود دارد که طبق آن بتوانید چند جمله ی بعدی هر یک از دنباله های فوق را بنویسید؟ اگر چنین است سه جمله ی بعدی هریک از دنباله های فوق را بنویسید.
آیا می توانید هر جمله دلخواه از دنباله های فوق را بنویسید؟

قرارداد:برای نامگذاری جملات یک دنباله معمولا شماره ی هر جمله را پایین نام دنباله که یک حرف کوچک انگلیسی است می نویسیم در واقع شماره جمله را اندیس(زیرنویس) نام دنباله قرار می دهیم. مثلا در دنباله (۱) دنباله را با حرف
  نشان داده و ۱ را که اولین جمله دنباله است با زبان نمادها به صورت نمایش می دهیم. ( را اندیس یک می خوانیم).

اگر یک عدد طبیعی دلخواه باشد را جمله ام یا جمله عمومی دنباله می نامیم.
جمله عمومی دنباله در واقع فرمولی است بر حسب ( شماره ی جمله)  که به کمک آن می توان هر جمله ی دلخواه از دنباله را بدست آورد. البته ارائه فرمول عمومی برای همه دنباله ها همیشه کار آسانی نبوده و چه بسا در بعضی موارد غیرممکن باشد. در ادامه بحث چند مثال حل می کنیم تا مفهوم جمله عمومی برای شما دانش آموزان عزیز روشن تر شود.

مثال۱: دنباله (۱) دنباله اعداد طبیعی است که جمله عمومی آن به به صورت می باشد.

مثال۲: دنباله (۲) دنباله اعداد طبیعی زوج است که جمله عمومی آن به به صورت می باشد.

مثال۳:
دنباله (۳) دنباله اعداد طبیعی فرد است که جمله عمومی آن به به صورت می باشد.

مثال۴: برای ارائه جمله عمومی دنباله (۴) سعی می کنیم جملات دنباله را به صورتی بنویسیم که رابطه هر جمله با شماره آن جمله ، به صورت الگویی نمایان شود .(گرچه می دانستیم که هر جمله دو برابر جمله قبلی خود می باشد ولی این نکته به تنهایی برای نوشتن جمله عمومی کافی نیست).






مشاهده می شود که همه جملات به صورت توانی از عدد ۲ هستند که در هر جمله توان عدد۲ برابر شماره جمله است پس می توان نوشت:



مثال ۵ : دنباله (۵) را بررسی می کنیم . هر جمله با اضافه شدن عدد سه به جمله ی قبلی خود حاصل
 شده است. در این دنباله نیز سعی می کنیم ارتباط بین جملات دنباله را به صورتی قانونمند بنویسیم تا راحتر بتوانیم جمله عمومی را حدس بزنیم. مراحل حل را در زیر ببینید.











نکته : اگر در یک دنباله مانند دنباله (۵) تفاضل هر دو جمله متوالی مقدار ثابتی باشد (یک عدد باشد) می توان نتیجه گرفت که جمله عمومی دنباله به صورت یک دو جمله ای درجه اول بر حسب می باشد یعنی    .

مثال۶: جمله عمومی دنباله مقابل را بدست آورید.                          


برای حل این مثال از نکته فوق استفاده می کنیم:                                                           



 


** ) جمله ی عمومی دنباله (6) را بدست آورید.







مشاهده می شود که الگوی حاکم بر جملات دنباله به صورت حاصلضرب عدد 3 در توانی از عدد 4 می باشد که در هر جمله توان عدد4 از شماره ی جمله یک واحد کمتر است در نتیجه حدس می زنیم که جمله ی عمومی دنباله به صورت   می باشد.
(این مساله(**) به درخواست یک کاربر گرامی در تاریخ 92/8/5 حل شده است امیدوارم از بنده راضی شده باشند برایشان آرزوی موفقیت دارم.


مبحث را در ادامه مطلب دنبال کنید...

به دنبال کسی نباش که بتوانی با او زندگی کنی ،به دنبال کسی باش که بدون او نتوانی زندگی کنی.

شکسپیر




ادامه مطلب


نوع مطلب : ریاضیات2، 
برچسب ها : دنباله، دنباله های عددی، جمله عمومی دنباله، تفاضلات مشترک و پیدا کردن جمله عمومی دنباله، حدس زدن جمله n ام دنباله،
لینک های مرتبط :


نمایش هندسی اعداد بر روی محور اعداد (خط حقیقی) همیشه از اهمیّت خاصی برخوردار بوده است. البته نمایش اعداد طبیعی،اعداد صحیح و اعداد گویا نسبتا ساده است ولی نمایش هندسی اعداد گنگ (اصمّ) نیازمند اطلاعات هندسی بیشتری می باشند حتی بعضی از مواقع مساله بغرنج تر می شود به این معنی که همه اعداد گنگ ترسیم پذیر نیستند.البته ما بنا نداریم به صورت پیشرفته وارد این بحث شویم بلکه فقط می خواهیم در حد ریاضیات اول دبیرستان مطالبی را ارائه دهیم. به زعم تاریخ به نظر می رسد اولین عدد گنگ که بشر به آن دست یافته است  می باشد . در تاریخ ریاضیات آمده است که کسی که راز اعداد گنگ را فاش کرد سوزانده شد.گرچه گرفتن جان یک انسان تنفر برانگیز بوده و هیچ عقل سلیمی آن را نمی پسندد ولی فاش شدن این راز دریچه جدیدی از ریاضیات را به سوی بشر گشود.در ادامه ترجیح می دهم به بحث ساده ی خودمون یعنی نمایش اعداد گنگ بر روی محور اعداد بپردازم.

در حد کتاب درسی معمولا اعداد گنگ ، ، ،   بیشتر ظاهر می شوند و دانش آموزان معمولا با یاد گرفتن رسم این اعداد می توانند از عهده حل تمرینات و سئوالات امتحانی برآیند به همین دلیل ما نیز بیشتر به این اعداد و مشتقات آن ها می پردازیم .

برای ساختن طول هایی به اندازه اعداد گنگ بالا از قضیه فیثاعورس کمک می گیریم.روش ساخت راذیلا شرح می دهم:
برای ساخت طولی به اندازه از مثلث قائم الزاویه ای استفاده می کنیم که طول اضلاع زاویه قائمه آن برابر 1 باشند وتر این مثلث برابر است.

برای ساخت طولی به اندازه  از مثلث قائم الزاویه ای استفاده می کنیم که طول اضلاع زاویه قائمه آن برابر 1 و باشند وتر این مثلث برابر است.

برای ساخت طولی به اندازه از مثلث قائم الزاویه ای استفاده می کنیم که طول اضلاع زاویه قائمه آن برابر 1 و 2باشند وتر این مثلث برابر است.

برای ساخت طولی به اندازه
از مثلث قائم الزاویه ای استفاده می کنیم که طول اضلاع زاویه قائمه آن برابر 2 و 2باشند وتر این مثلث برابر است.





 برای پیداکردن نقطه متناظر با اعداد گنگ کافیست ما همین مثلث ها را روی محور اعداد بسازیم.مثلا برای پیدا کردن نقطه متناظر با عدد کافیست پاره خط بین صفر و یک را یک ضلع مثلث در نظر گرفته و در نقطه1 پاره خطی به طول 1 عمود کنیم و نقطه انتهایی پاره خط عمود را به مبداء وصل کنیم تا مثلث قائم الزاویه ساخته شود با توجه به توضیحات ارائه شده طول وتر برابر می باشد. اکنون به مرکز مبداء وشعاعی برابر طول وتر این مثلث دایره ای رسم می کنیم (چون مثبت است کافیست کمانی از دایره را رسم کنیم که محور را در سمت راست مبداء قطع می کند) نقطه برخورد دایره با محور را مشخص می کنیم این نقطه متناظر عدد است. انیمیشن زیر توضیحات بالا را تکمیل خواهد کرد.




در ادامه نقاط متناظر با اعداد گنگ دیگری را روی محور نمایش می دهیم.

رسم به دو روش:








بقیه بحث را در ادامه مطلب ببینید...


ادامه مطلب


نوع مطلب :
برچسب ها : نمایش اعداد گنگ روی محور، رسم نقطه متناظر با اعداد گنگ، اعداد اصمّ، irrational numbers، construct irrational numbers،
لینک های مرتبط :