آموزش ریاضیات دبیرستان - مطالب ابر اثبات گنگ بودن

	درباره وبلاگ اینجانب تقی خواجه دبیر ریاضی شهرستان مینودشت فارغ التحصیل از دانشگاه تربیت معلم تهران(خوارزمی فعلی) دارای دوازده سال سابقه تدریس ریاضی امیدوارم بتوانم نقش کوچکی در جهت گسترش آموزش ریاضی برای دانش آموزان عزیز این مرز و بوم داشته باشم. مدیر وبلاگ : تقی خواجه موضوعات حساب دیفرانسیل و انتگرال (6) ریاضیات گسسته (1) جبر خطی و هندسه تحلیلی (2) ریاضی سوم تجربی (2) حسابان (16) جبر و احتمال (2) هندسه2 (8) هندسه۱ (26) آمار و مدل سازی (3) ریاضیات2 (20) ریاضیات۱ (38) آرشیو وبلاگ مرداد 1394 فروردین 1394 اسفند 1393 بهمن 1393 آذر 1393 مهر 1393 شهریور 1393 تیر 1393 خرداد 1393 اردیبهشت 1393 فروردین 1393 آرشیو كل مطالب پیوندهای روزانه مشاوره بـــــچه های کــــــنکوری وبلاگ راهنمایی ومشاوره -مشاوره کنکوری ریاضیات دبیرستان آقای مطواعی همه پیوندهای روزانه ارسال پیوند روزانه نویسندگان تقی خواجه (166) صفحات جانبی مسأله های زیبای ریاضی معادله درجه دوم قضیه فیثاغورس نظرسنجی دوست دارید چه مطالبی در وبلاگ قرار داده شود؟ نمونه سئوالات امتحانی و نهایی جزوات آموزش مطالب درسی معرفی سایت یا وبلاگ های ریاضی فایل های تعاملی ریاضیات انیمیشن های ریاضی آمار وبلاگ کل بازدید : بازدید امروز : بازدید دیروز : بازدید این ماه : بازدید ماه قبل : تعداد نویسندگان : تعداد کل پست ها : آخرین بازدید : آخرین بروز رسانی : آموزش ریاضیات دبیرستان ریاضیات برای همه صفحه نخست تماس با مدیر پست الکترونیک RSS ATOM اثبات گنگ بودن یک عدد چهارشنبه 19 شهریور 1393 :: نویسنده : تقی خواجه ثابت کنید $\sqrt{2}$ گنگ است. اثباتی که اکثر دوستان علی الخصوص دانش آموزان دبیرستانی دیده اند اثباتی نظریه ی اعدادی بوده است در این پست اثباتی متفاوت را برای شما عزیزان ارائه خواهم داد امّا قبل از هر چیز لازم می دانم اصل خوشترتیبی را یادآوری نمایم. اصل خوشترتیبی(اعداد طبیعی):هر زیر مجموعه ی غیر تهی از اعداد طبیعی عضو ابتدا(کوچکترین عضو) دارد. اثبات: فرض کنیم $\sqrt{2}$ گنگ نباشد(فرض خلف) پس $\sqrt{2}$ گویا است .اکنون مجموعه ی $S$ را به صورت زیر تعریف می کنیم: $S=\left \{ \left ( m,n \right ):\left ( \frac{m}{n} \right )^{2}=2;m,n\in \mathbb{N} \right \}$ طبق اصل خوشترتیبی $m_{\circ }=min\left \{ m:\left ( m,n \right )\in S \right \}$ کوچکترین عضو مجموعه ی صورت ها می باشد. فرض کنیم $n_{\circ }\in \mathbb{N}$ ی موجود باشد بطوریکه $\left ( \frac{m_{\circ }}{n_{\circ }} \right )^{2}=2$ در اینصورت داریم: $m_{\circ }^{2}=2n_{\circ }^{2}\quad \quad\left ( 1 \right )$ اکنون با کم کردن عبارت $m_{\circ }n_{\circ }$ از طرفین رابطه ی $\left ( 1 \right )$ نتیجه می شود: $\begin{align} &2n_{\circ }^{2}-m_{\circ }n_{\circ }=m_{\circ }^{2}-m_{\circ }n_{\circ }\\&n_{\circ }\left ( 2n_{\circ }-m_{\circ } \right )=m_{\circ }\left ( m_{\circ }-n_{\circ } \right )\\&\frac{m_{\circ }}{n_{\circ }}=\frac{2n_{\circ }-m_{\circ }}{m_{\circ }-n_{\circ }} \end{align}$ چون $\sqrt{2}> 1$ پس $m_{\circ }> n_{\circ }$ و از اینجا نتیجه می شود $2m_{\circ }> 2n_{\circ }$ و یا $m_{\circ }> 2n_{\circ }-m_{\circ }$ .یعنی $m_{\circ }$ کوچکترین عضو مجموعه ی صورت ها نیست و این یک تناقض است . چون $m_{\circ }$ و $n_{\circ }$ ی یافت نمی شوند که در شرایط مجموعه $S$ صدق کنند بنابراین $\sqrt{2}$ گنگ است. $\blacksquare$ نوع مطلب : ریاضیات گسسته، جبر و احتمال، برچسب ها : اثبات گنگ بودن، لینک های مرتبط : نظرات ()
	برچسب ها پیوندها آخرین مطالب مثلث متساوی الاضلاع نمایش اعداد گنگ روی محور مثلثات مجموع زاویه های داخلی مثلث ربع دایره و عقربه نقاطی که در دسترس نیستند محاسبه سینوس صفر درجه تا نود درجه مثلثات اول دبیرستان ریاضیات۱ مسائل حل شده از تجزیه چندجمله ای ها یک مساله و چند راه حل محاسبه ارتفاع سهمی انیمیشن محاسبه سینوس ابزار ریاضی وبلاگ ریاضی استان گلستان بهترین قالب های وبلاگ همه پیوندها دعوت به تلگرام در جستجوی همکلاسی ها سال نو مبارک پیام تسلیت جواب معمای چوب کبریتی تجزیه چهار جمله ای ها محاسبه مجموع مربعات اعداد زوج آموزش هندسه فضایی با Geogebra3D روش رسم ریشه سوم عدد 2 چگونه بین دو عدد گویا،عددی گویا بنویسیم اثبات گنگ بودن یک عدد پوزش نامه ورزیدگی در جبر مساله ای از هندسه فراکتال منحنی کخ